Kan forskjellen mellom et lokalt og absolutt / globalt maks og min-punkt finnes matematisk (uten grafer)?


Svar 1:

Du går til matematiske teoremer og bevis for å regne ut ting som dette.

Hvis du er i stand til å bevise at funksjonen din er en konveks funksjon, vet du at den bare har ett lokalt minimum og dermed et absolutt minimum. Det samme argumentet kan fremsettes for maksimalt hvis du tar det negative til funksjonen.

Hvis du er i stand til å bevise at funksjonen din er annen differensierbar og det andre derivatet er ikke-negativt nesten overalt, har du bare bevist at den er konveks, og så kan du bruke det.

Hvis funksjonen til en ekte variabel er et polynom av en merkelig orden enn du vet, har den ikke absolutt ekstrem. Hvis det er av jevn orden, ser du på tegnet til den primære termen, og du har enten ingen absolutte maksima, eller absolutte minima.

Hvis du kan dele opp funksjonen din i en haug med stykker der hver av disse brikkene har de ovennevnte egenskapene, kan du filtrere ut de mulige kandidatene for å være globale ekstremer.

Til slutt når du har en begrenset liste over poeng, kan du alltid sjekke dem alle.

Der ting blir vanskelig er når du jobber med funksjoner (eller negativene derav) som er ikke-konvekse og ikke-differensierbare. På dette tidspunktet, jo mindre du vet om funksjonen, desto mindre er du i stand til å bevise at et ekstrempunkt er et globalt ekstrempunkt.

Optimaliseringsteori er et veldig stort område av aktuell matematisk forskning.