Endelig elementanalyse: hva er forskjellen mellom førsteordens og andreordens elementer?


Svar 1:

Wasfi Zakaria har gitt en utmerket beskrivelse av tilnærmingen som skiller førsteordens form fra andreordens elementer.

Det er en subtil kompleksitet introdusert i elementer når de blir høyere orden.

La oss se på en trekant i det virkelige rommet.

Den kanoniske formfunksjonen i reelle koordinater for et lineært trekantelement er:

P = a + bx + cy (3 parametere og 3 noder)

og

dP / dx = b eller belastningen i x-retningen kan variere lineært i y.

dP / dy = c eller belastningen i y-retningen kan variere lineært i x.

Den kanoniske formfunksjonen i reelle koordinater for en bilinær (andre ordens) trekant er:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 parametere og 6 noder)

og

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Og vi har igjen symmetrisk belastningsatferd.

La oss nå se på det lineære firelementet:

P = a + bx + cy + dxy (fire parametere, fire noder)

og

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Legg merke til at det er en asymmetri i feltene d / dx og d / dy.

La oss nå se på det biquadratiske serendipityelementet (åtte noder):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (åtte parametere, åtte noder)

og tøyningsfeltene kan bestemmes av

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

og igjen er tøyningsfeltene ikke symmetriske.

Så trekantelementer (og tetraedriske elementer i 3D) har symmetriske belastningsfelt (og derav stress) felt mens de quad serendipity elementene ikke gjør det.

Hvorfor betyr det noe?

La oss se på et rent konstant forskyvningsfelt (konstant strekk). Alt elementet vil bare ha en konstant belastningstermin og alle oppfører seg like bra.

La oss se på lineær belastning over seksjonen (som i ren bøying). den lineære trekanten er en konstant belastning og matcher dermed den virkelige belastningen som et sett trinnfunksjoner og konvergerer veldig sakte. For visse problemer (plastisitet) som disse elementene faktisk låses og er korrekt oppgitt, er konvergensatferden merkelig. de bilinære elementene kan imidlertid eksplisitt representere lineært varierende tøyningsfelt i enten x eller y, og elementene konvergerer umiddelbart for ett element.

La oss nå se på forskyvningsfelt med høyere orden, si et kubisk forskyvningsfelt som gir kvadratiske belastningsfelt (bøying under endelast). Den bilinære trekanten vil passe fortrengningsfeltet med et sett kvadratiske felt og konvergens er relativt raskt. Som klokt kan tøyningsfeltvariasjonen symmetrisk representeres over elementet, og tøyningsfeltet er veloppdragen. La oss se på firelementene. De vil også kartlegge forskyvningsfeltet som et sett kvadratiske forskyvningsfelt og konvergere ganske raskt. Imidlertid er det nå andreordens tøyningskomponenter, og disse kan begeistre de andre ordensbetegnelsene i derivatet av formfunksjonene. Og etter hvert som forskyvningsfeltet blir mer strengere og mer komplekse blir disse høye ordens belastningsfelt stadig mer begeistret. Resultatet kan være svingende belastninger (og derav belastninger), se nedenfor.

tatt fra:

Strukturanalyse med endelig elementmetode. Lineær statistikk

Dette blir diskutert mer i:

Minst kvadrater belastningsutjevning for det åtte-knutepunkt serendipitetsplanet stresselement

og

Prosedyrer for endelige elementer

og

Strukturanalyse med endelig elementmetode. Lineær statistikk

Minst kvadrater som glatter ut over elementet (den rette linjen i dette tilfellet) er en veldig effektiv løsning på denne utfordringen.

Innvirkning:

1) firer / rektangler konvergerer raskere enn trekanter / tetraeder

2) bilinære elementer konvergerer mye raskere enn lineære elementer

3) bilinære (eller langrangiske eller ...) firer / rektangler er mottagelige for parasittiske stresssvingninger

4) minst kvadratisk montering av tøynings- / spenningsfeltene over elementet er meget effektiv til å redusere denne svingningen


Svar 2:

Etter skjønn i FEA tildeles alle elementene en funksjon (et polynom) som vil bli brukt til å representere elementets oppførsel. Polynomligninger er å foretrekke for dette, da de lett kan differensieres og integreres. Ordenen til et element er den samme som rekkefølgen på polynomligningen som ble brukt for å representere elementet.

Et lineært element eller første ordenselement vil ha noder bare i hjørnene. Dette er noe som Edge Centered Cubic Structure.

Imidlertid vil et andreordens element eller et kvadratisk element ha midtre sideknuter i tillegg til noder i hjørnet (kant + kropp + ansiktssentrert kubisk struktur).

Et lineært element i diagrammet ovenfor har helt klart to noder per kant, og trenger derfor bare en lineær ligning som skal tilordnes for å representere elementatferden.

Imidlertid trenger et kvadratisk element en kvadratisk ligning for å beskrive dens oppførsel da det har tre noder.

For elementer der du ønsker å fange krumning, foretrekkes polynomer med høyere orden. Første ordenselementer kan ikke fange krumning.

Elementets rekkefølge har ingenting med geometri å gjøre. I diagrammet nedenfor, for den samme trekanten, kan første orden og andre skjønn utføres, men andre ordre har gode sjanser for å fange krumning.

For å fange opp komplekse kurver er det nødvendig med høye ordrer polynomer, men de kommer på bekostning av økt beregningstid. Derfor er det bedre å ha en avveining mellom grad av nøyaktighet og beregningstid.

La oss nå snakke om antall noder mellom første og andre ordens elementer. Antall noder er ankommet av Pascal Triangle.

Følgende er for trekanter. For en 0. rekkefølge er antall ord 1 som er antall noder må være 1.

For en lineær (første ordens polynom) er antallet begrep 3 som er antall noder må være 3.

For et kvadratisk (andre ordens polynom) er antall uttrykk 6 som er antall noder = 6.

I tilfelle av firkanter må vi betrakte torget som et tillegg av to trekanter. Resultatene for 0. ordre, Lineær og kvadratisk er som følger-


Svar 3:

Førsteordens elementer er generelt sammensatt av kombinasjonen av linjer (som betyr at konstruksjonen av FOE styres av lineære deferensielle ligninger eller førsteordens deferensielle ligninger) dvs. trekant, tat element. De har best nøyaktighet når du arbeider med de geometrisk partiske formene som perfekt firkant, rektangel osv. De har mindre noder på ønsket territorium.

Andreordens elementer er sammensatt av kurver og krumningslinjer (som betyr at konstruksjonen av SOE styres av andre ordens deferensielle ligninger), de har tendensene til å vise større mengde nøyaktighet på geometrisk partisk samt veldig intrikate eller kompliserte geometriske elementer mens de utfører FEA


Svar 4:

Det er polynomfunksjonen som beskriver elementet, for elementene i første rekkefølge har en funksjon som: P (x) = a * x + b

og for andreordens elementer er funksjonen noe som: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

på bildet over er den første linjen med elementer første rekkefølge mens elementene i 2. orden er i 2. linje.

PS: du kan se den parabolske formen for andreordens elementer, det er den ting 1.ordens elementer ikke kan gi deg.