For en rasjonell funksjon, hva er forskjellen mellom et hull og en vertikal asymptot?


Svar 1:

Siterer en av matematikklærerne mine på videregående skole:

"Du skal ikke dele deg med null."

Noen ganger er det et ikke-null tall som er delt med null:

40\frac{4}{0}

Dette betyr at det er et tall som multipliseres med

00

vil resultere i

44

. (Vissvass!)

Noen ganger er det null som er delt med null:

00\frac{0}{0}

Hmmm. Dette betyr at det er et (entall) tall som når det er delt på

00

vil resultere i

00

. Ved første rødme kan en student tro at tallet er

00

, siden

0×0=00\times0=0

. Men en annen student, som husker at et hvilket som helst antall delt på seg selv, vil være 1, så de hevder at brøkdelens verdi er 1 siden

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

Tenk nå på en rasjonell funksjon med tellerne og nevnerne alle utarbeidet.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

I vår rasjonelle funksjon ovenfor er begrensningene i domenet

xx ≠

{-8, -4, 2, 9}.

Både vertikale asymptoter og hull i grafen er representert i begrensningene for domenet. Disse begrensningene er forårsaket når en verdi av

xx

ville være et forsøk på å dele seg etter

00

.

Det vil vise seg at to av disse begrensningene representerer

xx

-koordinat av et hull i grafen, de to andre vil være vertikale asymptoter.

Jeg liker å starte med å finne de smarte formene til 1 og skille disse fra faktorene som ikke stemmer overens:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

De smarte formene til 1 er alltid lik 1, bortsett fra når telleren og nevneren er lik 0. The

xx

-koordinater av hullene er 2 og -4.

De vertikale asymptotene forekommer i det hele tatt med de andre begrensede verdiene til x som ikke er x-koordinater for hull. I mitt eksempel er disse

x=9x=9

og

x=8x=-8

.


Svar 2:

Graf over en rasjonell funksjon er kontinuerlig uansett hvor den er definert. Et hull er det punktet der funksjonen er udefinert.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

har et hull kl

x=2x=2

.

Hvis vi faktorerer ut

x2x-2

fra topp og bunn, får vi

y=x+2y=x+2

.

Det er grafen som er den rette linjen

y=x+2y=x+2

men poenget

(2,4)(2,4)

mangler i grafen (siden den aldri ble definert for

x=2x=2

).

En vertikal asymptot oppstår når nevneren har en tendens til null.

f.eks. for

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

er udefinert kl

x=0x=0

. Men hvis du ser på grafen,

yy

pleier å

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Her,

x=0x=0

(Y-Axis) kalles den vertikale asymptoten.

Generelt,

1xa\frac{1}{x-a}

har den vertikale asymptoten

x=ax=a

.

En vertikal asymptot er den vertikale linjen tegnet på det punktet funksjonen har en tendens til

±\pm \infty

,

Et hull er et punkt der grafen 'går i stykker'.


Svar 3:

Graf over en rasjonell funksjon er kontinuerlig uansett hvor den er definert. Et hull er det punktet der funksjonen er udefinert.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

har et hull kl

x=2x=2

.

Hvis vi faktorerer ut

x2x-2

fra topp og bunn, får vi

y=x+2y=x+2

.

Det er grafen som er den rette linjen

y=x+2y=x+2

men poenget

(2,4)(2,4)

mangler i grafen (siden den aldri ble definert for

x=2x=2

).

En vertikal asymptot oppstår når nevneren har en tendens til null.

f.eks. for

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

er udefinert kl

x=0x=0

. Men hvis du ser på grafen,

yy

pleier å

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Her,

x=0x=0

(Y-Axis) kalles den vertikale asymptoten.

Generelt,

1xa\frac{1}{x-a}

har den vertikale asymptoten

x=ax=a

.

En vertikal asymptot er den vertikale linjen tegnet på det punktet funksjonen har en tendens til

±\pm \infty

,

Et hull er et punkt der grafen 'går i stykker'.


Svar 4:

Graf over en rasjonell funksjon er kontinuerlig uansett hvor den er definert. Et hull er det punktet der funksjonen er udefinert.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

har et hull kl

x=2x=2

.

Hvis vi faktorerer ut

x2x-2

fra topp og bunn, får vi

y=x+2y=x+2

.

Det er grafen som er den rette linjen

y=x+2y=x+2

men poenget

(2,4)(2,4)

mangler i grafen (siden den aldri ble definert for

x=2x=2

).

En vertikal asymptot oppstår når nevneren har en tendens til null.

f.eks. for

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

er udefinert kl

x=0x=0

. Men hvis du ser på grafen,

yy

pleier å

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Her,

x=0x=0

(Y-Axis) kalles den vertikale asymptoten.

Generelt,

1xa\frac{1}{x-a}

har den vertikale asymptoten

x=ax=a

.

En vertikal asymptot er den vertikale linjen tegnet på det punktet funksjonen har en tendens til

±\pm \infty

,

Et hull er et punkt der grafen 'går i stykker'.